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By Wolfgang Stegmüller

Der heutige Erkenntnistheoretiker kann an den Resultaten der logischen und mathematischen Grundlagenforschung nicht mehr vorbei gehen. Insbesondere sind viele der innerhalb der Metamathematik gewonnenen Ergebnisse von einer so auBerordentlichen theoretischen Bedeutung und Tragweite, daB deren genaues Studium fur jeden, der erkenntnistheoretische Untersuchungen betreiben will, welche auf der Hohe der Zeit stehen, ganz unerlii. J3lich ist. Durch jene Ergebnisse ge winnen wir tiefste Einblicke in die Endlichkeit unseres Denkvermogens, in die Reichweite und die Grenzen des axiomatisch-deduktiven Vor gehens, in das Verhaltnis zwischen formalen, kalkiilmaBig aufgebauten logischen sowie mathematischen Systemen und dem nichtformalisierten intuitiven SchlieBen, in die Beziehung zwischen logischer und mathe matischer Wahrheit einerseits und Beweisbarkeit andererseits, in die Relation zwischen anfechtbaren, "bedenklichen" SchluBweisen der klassischen Logik und fur unbedenklich gehaltenen Operationen, durch welche die ersteren nachtraglich gerechtfertigt werden sollen. Bei ver schiedenen dieser Resultate wird von Oberlegungen ausgegangen, die eine groBe Ahnlichkeit besitzen mit bereits von fruher her bekannten philosophischen Gedankengangen, insbesondere solchen, die zur Konstruk tion von Paradoxien fiihrten. Diese Paradoxien waren meist als mehr oder weniger unfruchtbare, mehr oder weniger sophistische gedankliche Spielereien aufgefaBt worden. Nun konnten aber bedeutende metalogische und metamathematische Resultate dadurch gewonnen werden, daB guy an jenen zu Paradoxien fiihrenden Oberlegungen gewisse Modifikationen vornahm, fehlerhafte Elemente ausschied und giiltige SchluBfolgerungen prazisierte und in geschickter Weise auswertete. Dies gilt insbesondere fiir die Antinomie des Liigners von EPIMEN'IDES und das Paradoxon von RICHARD.

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Das Maximum von a und b: max(a,b). 0, falls n = 0, 10. sg(n) =Df { 1, falls n > O. t t 11. t 12. t = {I, falls n = 0, g Dt 0, falls n > o. Der Rest bei der Division von m durch n: rest(m,n). 8" (n) 13. Der (ganzzahlige) Quotient bei der Division von m durch n: [mjn]ll1. Die rekursive Definition der Addition lautet: (a) n n + 0 = n, + m' = (n + m)'. Wollte man dies genauer im Symbolismus der oben angeführten fünf prim. rek. (m,n),n), wobei g(m,r,n) = N(l32(m,r,n» = 1". Wir geben im folgenden nur Formulierungen von der einfacheren Form (a); es ist aber zu bedenken, daß übersetzungen in die präzisere Form (b) stets möglich sind.

Solche, bei denen für vorgegebene Argumentwerte der Funktionswert effektiv berechnet werden kann (so daß also z. B. die Ermittlung dieses Wertes nicht von der vorherigen Lösung eines mathematischen Problems abhängt, welche Lösung gelingen kann oder auch nicht gelingen kann). Obwohl dieser Begriff der Berechenbarkeit durch Beispiele ziemlich klar gemacht werden kann, ist er dennoch zunächst ein mehr oder weniger vager intuitiver Begriff, und es entsteht daher das Bedürfnis, ihn durch eine präzise Begriffsbestimmung zu ersetzen, so wie etwa der Begriff der logischen Ableitung oder des Beweises durch den Aufbau eines Logikkalküls mit 17 18 Journal of Symbolic Logic 16, 1951.

Entsprechend der früheren Festsetzung, wonach durch "tX*" die erste Variable "a" von ZL bezeichnet wurde, soll in V13 durch "tX*" die zwölfte Null von VA bezeichnet werden, welche das Korrelat zu jener Variablen in der verallgemeinerten Arithmetik darstellt. An dieser Stelle wird der Hauptgrund dafür ersichtlich, warum wir an früherer Stelle für jene Formeln, welche die in D 2 und D 3 (S. 21) eingeführten Prädikate formal darstellen sollen, als erste darin vorkommende Individuenvariable die Variable tX*, also die bestimmte Variable "a" aus ZL und nicht eine beliebige Variable, wählten: Beim Übergang von ZL zu VA wird das "a" zu einer Konstanten (dem zwölften Nullsymbol) und daher ist das durch V13 festgelegte Prädikat ein dreisteIliges Prädikat.

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