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By Dominique Foata, Marcel-P. Schützenberger (auth.)

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Sous une £orme ou sous une autre, elle a ~t6 retrouv~e et utilis~e souvent dans diverses questions d'~num~ration. Nous l'appellerons simplement £ormule exponentielle. En prenant le logarithme des deux membres - 55 - on obtiendrait ~videmment la £onction g~n~ratrice exponentielle E(Y) de Y en £onction de la £onction g~n~ratrice exponentielle du compos~ partitionnel Y(+) Y . 8. Soit A un monolde ab~lien ; une application dite multiplic@tive ssiil existe ~n morphisme ~' : Y + ~ ~ : Y(+) ~ A A sera tel que le diagramme y(+) Y > y+ A soit commutati£.

L'application £ sera z(£) = I . Ainsi les sous-domaines d'une permutation sont les orbites de celle-ci ; les permutations circulaires sont les permutations connexes. Dans la suite, on notera In] dans lui-m@me (n > O) F= U cation F (n > O) . (r = z(£)) . , Ir £ £ Fn n et l'on posera O~n D~signons par F la restriction de £j '( Ij ) c I. j . Par d~£inition de l'~quivalence et il est licite de poser £. , w. J J (j 6 [r]) . Les applications routes connexes £ 6 F n £. envoient [Card lj] dans lui-mSme et sont J (J 6 [r]) .

On a donc l'identit~ a8 = y 6 o~ ~ est le morphisme ~ : Y - Y+ et oG 8 a ~t~ d&gini en (I) . On peut rassembler les remarques ainsi £aites darts un lemme. 4. Pour tout 9 6 y(r) , on a Card [h ~ Y((')) et si • 8~ = ~] = r! 6h = £ , on a y£ = ~Sh . Venons-en A la 9ornmle fondamentale de ce chapitre. 5. ( F o = ~ e Dans la exponentiel:e). Q - a l @ ~ b r e lar@e de E {yV)~£! Y+ , on a l'ide~tit~ : £ 6 Y(+)} = exp E(Y) - 52- PREUVE. On a (r > o) Z {ye/~s, : £ E y(O)} = 1 • D'autre part, pour f E Y(~) , on a d'apr~s le lemme pr@c~dent.