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By Klaus Lamotke

In diesem Buch werden einige Gebiete der algebraischen Topologie, die guy heute größtenteils zum klassischen Bestand rechnet, mit semi­ simplizialen Methoden in einheitlicher Weise dargestellt. Der Begriff der semisimplizialen Menge ist dabei von grundlegender Bedeutung. Er wurde um 1950 von EILENBERG und ZILBER bei der Untersuchung der singulären Homologietheorie geprägt. Seine Nützlichkeit für die alge­ braische Topologie, und zwar nicht nur für die Homologietheorie, erwies sich bald darauf durch die Arbeiten von DOLD, KAN, MACLANE, MOORE und POSTNIKOV. Durch sie wurde das vorliegende Buch angeregt. Die semisimpliziale Menge steht zwischen der Topologie und der Algebra. Einerseits ist ihre Struktur so "algebraisch", daß guy direkt Homologie-und Homotopiegruppen für sie definieren und allgemeine Zusammenhänge zwischen ihnen beweisen kann. Andererseits haben viele topologische Begriffe, wie z. B. die Faserung oder die Homotopie ein semisimpliziales Gegenstück. Der Zusammenhang zwischen der Topologie und der semisimplizialen Theorie beschränkt sich nicht auf diese Analogie: Es gibt einen Funktor S von der Kategorie der topo­ logischen Räume in die Kategorie der semisimplizialen Mengen, der die topologischen Begriffe in die entsprechenden semisimplizialen über­ führt. "Semisimpliziale algebraische Topologie" bedeutet am Beispiel der singulären Homologietheorie : guy ordnet dem Raum X seine semi­ simpliziale Menge SX zu, definiert die Homologie von SX als singuläre Homologie des Raumes X und folgert die Eigenschaften der singulären Homologietheorie aus denen der Homologie semisimplizialer Mengen. In dieser Weise werden die Homotopietheorie, die Homologie-und Kohomologietheorie semisimplizial entwickelt.

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3. Wenn (x,t)"'(y,s) ist, ist tP(x,t)=tP(y,s). Daraus folgt die Behauptung. 9) ß surjektiv, y nicht entartet. Dann sind y,ß und u durch (x,t) eindeutig bestimmt, und man setzt tP(x, t) = (y, IßI(u)). 10) Dann ist 1. erfüllt. Denn konstruktions gemäß ist y nicht entartet und IßI(u) ein innerer Punkt, weil ß surjektiv und u ein innerer Punkt ist. Ferner gilt 2. 9), "'(y,IßI(u)). Zu 3. genügt es zu zeigen, daß tP(y* x, t) = tP(x, lyl(t)) für alle möglichen y ist. 14) die eindeutige Zerlegung, für die f> injektiv und u surjektiv ist.

B) Wenn der Weg w in * EX o geschlossen ist, ist o(w) der innere Automorphismus von 1t1(X,*) mit klw. 2. Beschreibung von lt,(X) durch Erzeugende und Relationen 53 2. ) ss. Menge mit einem Basispunkt *. Unter einem Baum L in (X, *) versteht man eine Menge von Streckenzügen in X mit folgenden Eigenschaften: 1) Alle a in L beginnen in *. Kein aEL ist geschlossen. 2) Zu jedem PEX o, P=F*, gibt es genau ein aEL, das in p endet. 3) Wenn xl' ... X~nE 1:' ist, ist für jedes 1:::::; i:::::; n der Teilstreckenzug xl'···xi'EL.

1···1 1. 1 Es sei X eine ss. Menge. Die Menge X n der n-Simplexe werde als diskreter topologischer Raum aufgefaßt. Man bildet die kartesischen Produkte X n x V(n) für alle n=O,l, ... 1) X = X o x V(O) II Xl x V(l)II ... IIXn x V(n)II .... Die Punkte dieses Raumes werden als Paare (x, t) beschrieben, wobei XEX n und tEV(n) liegt. 2) (IX* x,t)-(x,IIXI(t)), XEX q , tEV(n). 2) erzeugte Äquivalenzrelation bezeichnet. 3) IXI=X/- heißt geometrische Realisierung der ss. Menge X. Die durch (X,t)EX repräsentierte Äquivalenzklasse in lxi wird mit Ix,tl bezeichnet.

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