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By P.R. Chernoff, J.E. Marsden

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Bestimmte Endlichkeitsbedingung an einen metrischen Raum dar. Da es sehr schwierig ist globale Eigenschaften von metrischen Räumen zu erhalten, gibt es den Begriff der Totalbeschränktheit. Dieser umgeht nämlich das Problem, dass eine Metrik durch eine äquivalente Metrik ersetzt werden kann, mit der der Raum dann endlichen Durchmesser besitzt. Die Totalbeschränktheit fordert nun, dass man den Raum in endlich viele Stücke unterteilen kann, von denen jedes eine vorgegebene Größe nicht überschreitet.

1 soll andeuten, dass die Randpunkte nicht dazugehören. Wir wollen hier eine kleine Warnung aussprechen: r r x0 x0 Abb. 1: Veranschaulichung einer offenen und abgeschlossenen Kugel. Man darf sich die offenen bzw. abgeschlossenen Kugeln nicht als Kugeln in dem Sinne vorstellen, wie der Begriff in unserem Sprachgebrauch benutzt wird. Um das zu verdeutlichen, zeichnet doch einmal die Kugeln in der diskreten Metrik auf dem R2 . 3 Erklärungen zu den Definitionen 19 im R2 die Einheitskugeln B(0, 1) = {x : | · |p ≤ 1} mit p = 1, 2, ∞ skizzieren.

4 Erklärungen zu den Sätzen und Beweisen . . . . . . . . . . . . 61 In diesem Kapitel wollen wir stetige Abbildungen in metrischen und topologischen Räumen einführen und untersuchen. Dazu müssen wir natürlich zuerst klären, wie die Stetigkeit einer Abbildung zwischen topologischen Räumen überhaupt definiert ist. Die Stetigkeit zwischen metrischen Räumen kennen wir aber eigentlich schon aus der Analysis 1. Im Folgenden seien (M, dM ) und (N, dN ) zwei metrische Räume und f : M → N eine Abbildung.

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