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By John J. Bloomer

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On consid`ere tous les caract`eres imprimitifs unimodulaires fid`eles χ of H192 . En vue de trouver l’indice minimal d’un groupe 1-r´eductible, on consid`ere tous les sous-groupes K of H192 d’indice < 8 et on d´ecompose la restriction χK du caract`ere χ `a K. Si la borne standard n’est pas la meilleure possible, alors on doit trouver un groupe K tel que χK se d´ecompose en une somme de caract`eres irr´eductibles dont l’un des caract`eres est de degr´e 1. Il se trouve qu’aucun de ces groupes n’a un groupe 1-r´eductible d’indice < 8.

6 Groupes imprimitifs monomiaux d’image S4 dans S4 D’apr`es S. Hessinger, il existe `a conjugaison pr`es un sous-groupe infini monomial d’image S4 dans S4 qui est engendr´e par < a, b, d, e > et H3 . En effet, dans sa th`ese, S. 503]) que tout sousgroupe alg´ebrique infini G de SL(4, C) agissant monomialement sur C4 d’image S4 dans S4 est conjugu´e `a ∪m∈S mH o` u H = H3 et S = PS4 diag(GL(4, Z/2Z)) ∩ SL(4, Z/2Z), o` u PS4 est la projection classique de S4 dans GL(4, Z/2Z), ce qui nous donne le groupe d´ecrit plus haut (qui est bien irr´eductible).

Pour les ´equations du deuxi`eme ordre, la plus petite liste possible est donn´ee dans [39] et pour les ´equations du troisi`eme ordre dans [56]. Pour les groupes primitifs de degr´e 4, la liste des plus petits m possibles, {4, 5, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 40, 48, 60, 72, 120} est donn´ee dans [18]. Une repr´esentation d’un groupe G est imprimitive si le caract`ere de la repr´esentation est irr´eductible et induit par le caract`ere d’un sous-groupe. Si un syst`eme d’imprimitivit´e donn´e ne peut pas ˆetre d´ecompos´e en un de dimension moindre, la restriction du stabilisateur Gi de Vi dans G `a Vi , not´ee Hi = ρi (Gi ), est un groupe primitif de degr´e d = dim(Vi ).

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