Download Lesebuch Mathematik für das erste Studienjahr by Joachim Hilgert PDF

By Joachim Hilgert

Dieses Buch ist eine Begleitlektüre zum ersten Jahr des Mathematikstudiums und darüber hinaus. Im Mittelpunkt stehen Motivation und Erläuterung der zentralen Begriffsbildungen anhand von Beispielen und exemplarischen Resultaten.

Ausgehend von den elementarsten und historisch frühesten mathematischen Konzepten des Messens und Zählens werden Sie zu modernen Begriffen wie Metriken, Maßen und Vektorräumen geführt, die dann zur Lösung konkreter Probleme einsetzt werden. Die Stoffauswahl ist so angelegt, dass die Querverbindungen zwischen den unterschiedlichen Anfängervorlesungen, die im regulären Studienbetrieb oft eher ausgeblendet werden, deutlich hervortreten.

Das Buch richtet sich an Leser, die mit der elementaren Mengenlehre als Sprache zur Beschreibung von mathematischen Inhalten sowie mit den reellen Zahlen als mathematischem Konzept vertraut sind.

Das entspricht etwa dem Kenntnisstand, der von Studierenden der Mathematik nach etwa einen Monat Studium erwartet wird.

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Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (1) f ist stetig in x0 ∈ M . (2) Für jede Folge (xn )n∈N in M mit limn→∞ xn = x0 gilt limn→∞ f (xn ) = f (x0 ). Beweis. „(2)⇒(1)“: Wenn f in x nicht stetig ist, dann gibt es ein ε > 0 mit ∀ n ∈ N, ∃ xn ∈ M : dM (xn , x0 ) < 1 und dN (f (xn ), f (x0 )) > ε. n Insbesondere konvergiert die Folge (f (xn ))n∈N für n −→ ∞ nicht gegen f (x0 ), obwohl die Folge (xn )n∈N gegen x0 konvergiert. Das ist ein Widerspruch zu (2), also muss f steig sein. 15) zu δ ein n0 ∈ N mit ∀n ∈ N : n > n0 ⇒ dM (xn , x0 ) < δ.

Anschließend werden wir allerdings zeigen, dass (2) und (3) auch für allgemeine topologische Räume äquivalent sind. Das bedeutet, die Entscheidung für (2) statt (3) in der Definition der Stetigkeit hat keine Konsequenzen. 34 (Stetigkeit) Seien (M, U) und (N, V) topologische Räume und f : M → N eine Abbildung. Die Abbildung f heißt stetig in x0 ∈ M , wenn ∀ V ∈ V(f (x0 )) ∃ U ∈ U(x0 ) : f (U ) ⊆ V. Wenn f in jedem Punkt von M stetig ist, dann nennt man f einfach stetig. Ob eine gegebene Abbildung f : M → N zwischen zwei topologischen Räumen stetig ist, hängt ganz wesentlich von der Wahl der Topologien ab.

Also gilt HP(A) ⊆ A und damit A ∪ HP(A) ⊆ A. Umgekehrt folgt aus x ∈ / HP(A) ∪ A, dass es ein U ∈ T mit x ∈ U und A ∩ U = ∅ gibt. / A, das heißt A ⊆ A ∪ HP(A). 4 Topologie 43 (ii) A ist genau dann abgeschlossen, wenn A = A, was aber nach (i) äquivalent zu HP(A) ⊆ A ist. Als Nächstes führen wir auch für allgemeine topologische Räume Häufungspunkte von Folgen ein. 46 (Häufungspunkt einer Folge) Sei M ein topologischer Raum und (xn )n∈N eine Folge in M . Dann heißt x ein Häufungspunkt der Folge, wenn für jede Umgebung U von x gilt: Es gibt unendlich viele n ∈ N mit xn ∈ U .

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