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14). Die Randpunkte eines solchen Gebietes sind die Punkte der Linie C, die Punkte der ausgeschlossenen Linienstiicke l und die ausgeschlossenen Punkte p', p", ... Die letzteren sind, soweit 1 Vgl. 92. 46 I, 3. Der Begriff der analytischen Funktion. sie nicht auf einem der Linienstucke 1 liegen, isolierte Randpunkte des Gebietes. Es sei iedem Punkte z eines Gebietes D ein bestimmter endlicher Wert w nach irgendeinem Gesetz zugeordnet, so dafJ also w als Funktion von z in dem Gebiete D gegeben ist.

Wenn lim n-+ ist. 00 'VTCJ = 0 Die Potenzreihe Co + C1z + C + ... + cnzn + 2Z 2 konvergiert bestandig dann und nur dann, wenn lim r Icn 1= 0 [~n-:-- n-+oo ist. Fiir die vorstehenden Satze wollen wir nun einige Beispiele betrachten. Fur die Potenzreihe 1 + z + + + Z16 + Z4 Z9 ist 'V~ gleich 1 oder 0, je nachdem n ein Quadrat ist oder nicht. Die Zahlenfolge (2) hat also die heiden Haufungswerte 0 und 1; es ist I = 1 1 und r = T = 1. Fur die Reihe zn Z2 l+z+-+···+-+··· 2! n! {3(n - 2)} ... l}. I, 2.

Die Zahl trag 1 hat). Ware namlich ~ = ·2~-=-' +1 (die offensichtlich den Be- = 1 fUr ein positives ganzes n, so folgte (2 - i)n = (2 + i)n = (2 - i + 2i)n = (2i)n + n (2 - i) (2i)n-l und hieraus ~n (2i)n = (2 - i) (A + ... + Bi), wo A und B ganze rationale Zahlen bedeuten. Nimmt man die Quadrate der absoluten Betrage der beiden Seiten, so ergibt sich 4n = 5 (A 2 + B2), und diese Gleichung enthalt einen Widerspruch. 42 I, 3. Der Begriff der analytischen Funktion. Drittes Kapitel. Der Begriff der analytischen Funktion.

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