Download Aufgabensammlung zur Infinitesimalrechnung: Band III: by A. Ostrowski PDF

By A. Ostrowski

Mit diesem Band wird nunmehr meine Aufgabensammlung abgeschlossen. Es gilt dafur das im Vorwort zum Band eleven Gesagte. Bei der Herstellung des Manuskripts wurde ich in freundlicher und sach gemasser Weise von Frau Prof. R. Jeltsch-Fricker und bei den Korrekturen von Herrn cand. math. okay. Langer wirksam unterstutzt. Ihnen beiden, sowie dem Verlag, der auch diesmal freundliche Geduld und Ausdauer bewies, gilt mein aufrichtiger Dank. A. Ostrowski ABKURZUNGEN Fig. Punkt AbI. Ableitung Figur Pkt. Beh. Behauptung, Fkt. Funktion pos. positiv behaupten GI. Gleichung Stet. Stetigkeit, stetig Bew. Beweis, Int. quintessential, u. und beweisen integrieren Ungl. Ungleichung bzw. beziehungsweise Konv. Konvergenz, v. von d. der, die, das konvergieren v. Ind. vollstandige d. h. das heisst neg. negativ Induktion Div. Divergenz, m. guy vgl. vergleiche divergieren OBdA Ohne Beschr- e. ein, eine, eines kung der All- f. fur meinheit ist das image fur Majorisierung. Za. Zb. bedeutet, dass fur alle in Frage kommenden v: l. a.. l; b. gilt. AcB bedeutet: A ist eine Untermenge von B; AEB bedeutet: A ist ein point der Menge B. Entsprechend ist die Bedeutung von: J, three. A: =B bedeutet: A ist dfiniert als B; A=: B bedeutet: A soll mit B bezeichnet werden. AU B ist die Vereinigungsmenge von A und B. /\ bedeutet: sowohl als auch; v bedeutet: oder. [al bedeutet die ganze Zahl n mit

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N. a a a 31. Es gilt für jedes beliebige ganze 4* n~O unter den Annahmen von A30: 52 A § 6. Einfache Integrale von integrablen Funktionen 32. Es gilt für jedes ganze stetig sind: I I n~O, wenn q/(/) und f(/) zwischen a und x Xn X q/(xn)dxn a I a ep'(XJdXI a = I Xl X2 ep'(xn-I)dxn_I'" f(t)dl = a IX [ep(X)_ep(/)]nf(/)dl. n! a I fex) dx X 33. Istf(x) in der Umgebung von X=Xo stückweise stetig, so hat a an der Stelle Xo die rechtsseitige Derivierte f(xo+O) und die linksseitige Derivierte f(xo-O). 34.

Es seien Cl' Cz zwei einfache geschlossene, stückweise glatte Kurven so, daß Cl vollständig innerhalb Cz liegt. Ferner seien/ex, y), g(x, y) und/; =g~ auf Cl und C z sowie im ringförmigen Gebiet G zwischen Cl und Cz vorhanden und stetig. Dann gilt f f (g dx +/ dy) = f f (g dx +/ dy), wenn Cl und Cz im Cl C2 positiven Sinne in bezug auf das Innere dieser Kurven durchlaufen werden. 15. Sei G ein Bereich, dessen Rand aus endlich vielen glatten Kurven besteht, und es möge der Ursprung des Koordinatensystems außerhalb G liegen.

I 51. a) dx xy'a+blgx (h IIg(X-I) (x+ 1)3 dx, b) ~ 0). I 19x (2x+5)3dx. 52. J x- 2 Ig(a 2 +b2 x 2)dx. 53. x2+1 I (x2_1)2Igxdx. 54. I 55. JIg(y'I -x+ y'I +x)dx. 56. I y't=X2lg x I+x -I - dx. I-x2 -x 57. JIg(x+ y'1 +x2)dx. I 19-1-dx. I Yx x x -x 39 Aufgaben 58. a) e) f x aretgxdx, 1 xaretgx dx (1 +X2)2 ' X~1 d) laretg 1 61. 62. 63. )1 dx, are tg2 X d e 1 +xsin cp . l' sm cp dcp -xsmcp 59. 60. f raretgxdx, b) 2 a) f aresin2xdx, d) f x are sin x dx, laresin x. 1+x2 (lxi -< I). b) laresinx d (I+X)2 x, e) V ) Ixaresinx d e (l-X 2)2 x, 1 arexs12'n x dx.

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