By Susanne Danz

Best science & mathematics books

Great moments in mathematics (before 1650)

Ebook by means of Eves, Howard

Fallacies in Mathematics

As Dr Maxwell writes in his preface to this ebook, his target has been to educate via leisure. 'The normal concept is incorrect proposal may perhaps frequently be uncovered extra convincingly via following it to its absurd end than by means of purely asserting the mistake and beginning back. hence a few by-ways look which, it's was hoping, might amuse the pro, and support to tempt again to the topic those that proposal they have been getting bored.

Semi-Inner Products and Applications

Semi-inner items, that may be evidently outlined more often than not Banach areas over the true or advanced quantity box, play a massive function in describing the geometric houses of those areas. This new e-book dedicates 17 chapters to the research of semi-inner items and its functions. The bibliography on the finish of every bankruptcy incorporates a record of the papers brought up within the bankruptcy.

Extra resources for Algebraische Strukturen [Lecture notes]

Sample text

8 Proposition F¨ur Elemente a, b, m ∈ R sind a¨ quivalent: (i) a | m und b | m; (ii) (m) ⊆ (a) ∩ (b). Beweis. Es gilt Prop. 1 a | m, b | m ⇐⇒ (m) ⊆ (a), (m) ⊆ (b) ⇐⇒ (m) ⊆ (a) ∩ (b) . 9 Definition Es seien a, b ∈ R. 7 erf¨ullt, heißt gemeinsamer Teiler von a und b. Sind die Einheiten in R die einzigen gemeinsamen Teiler von a und b, so heißen a und b teilerfremd. (b) Ein gemeinsamer Teiler d von a und b heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler von a und b, falls d | d f¨ur jeden gemeinsamen Teiler d von a und b gilt.

Im Fall X = {x1 , . . , xn } f¨ur ein n ∈ N schreibt man auch einfach (X) = (x1 , . . , xn ). Im Fall X = {x} heißt X = (x) das von x erzeugte Hauptideal von R. (b) Ein Integrit¨atsbereich heißt Hauptidealring (HIR), falls alle seine Ideale Hauptideale sind. 9 Proposition Es seien R ein Ring und X, I ⊆ R. Genau dann ist I = (X), wenn folgende Bedingungen erf¨ullt sind: (i) I ist ein Ideal von R mit X ⊆ I, und (ii) ist J ein Ideal von R mit X ⊆ J, so ist auch I ⊆ J. 10 Korollar Sind R ein Ring und X ⊆ R eine beliebige Teilmenge, so ist k (X) = { ri xi si | k ∈ N0 , ri , si ∈ R, xi ∈ X} .

4 Proposition F¨ur jeden Ring R und jede Untergruppe (I, +) von (R, +) sind a¨ quivalent: (i) Sind r ∈ R und x ∈ I, so sind auch rx ∈ I und xr ∈ I. (ii) Die Faktorgruppe (R/I, +) wird verm¨oge folgender Multiplikation zu einem Ring: · : R/I × R/I → R/I, (r + I, s + I) → rs + I . (iii) Es existieren ein Ring S und ein Ringhomomorphismus ϕ : R → S mit Kern I. Gegebenenfalls ist die Abbildung ν : R → R/I, r → r + I ein Ringepimorphismus mit Kern I. Beweis. 4 wissen wir, dass (R/I, +) eine abelsche Gruppe ist.