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By Susanne Danz

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Fallacies in Mathematics

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8 Proposition F¨ur Elemente a, b, m ∈ R sind a¨ quivalent: (i) a | m und b | m; (ii) (m) ⊆ (a) ∩ (b). Beweis. Es gilt Prop. 1 a | m, b | m ⇐⇒ (m) ⊆ (a), (m) ⊆ (b) ⇐⇒ (m) ⊆ (a) ∩ (b) . 9 Definition Es seien a, b ∈ R. 7 erf¨ullt, heißt gemeinsamer Teiler von a und b. Sind die Einheiten in R die einzigen gemeinsamen Teiler von a und b, so heißen a und b teilerfremd. (b) Ein gemeinsamer Teiler d von a und b heißt gr¨oßter gemeinsamer Teiler von a und b, falls d | d f¨ur jeden gemeinsamen Teiler d von a und b gilt.

Im Fall X = {x1 , . . , xn } f¨ur ein n ∈ N schreibt man auch einfach (X) = (x1 , . . , xn ). Im Fall X = {x} heißt X = (x) das von x erzeugte Hauptideal von R. (b) Ein Integrit¨atsbereich heißt Hauptidealring (HIR), falls alle seine Ideale Hauptideale sind. 9 Proposition Es seien R ein Ring und X, I ⊆ R. Genau dann ist I = (X), wenn folgende Bedingungen erf¨ullt sind: (i) I ist ein Ideal von R mit X ⊆ I, und (ii) ist J ein Ideal von R mit X ⊆ J, so ist auch I ⊆ J. 10 Korollar Sind R ein Ring und X ⊆ R eine beliebige Teilmenge, so ist k (X) = { ri xi si | k ∈ N0 , ri , si ∈ R, xi ∈ X} .

4 Proposition F¨ur jeden Ring R und jede Untergruppe (I, +) von (R, +) sind a¨ quivalent: (i) Sind r ∈ R und x ∈ I, so sind auch rx ∈ I und xr ∈ I. (ii) Die Faktorgruppe (R/I, +) wird verm¨oge folgender Multiplikation zu einem Ring: · : R/I × R/I → R/I, (r + I, s + I) → rs + I . (iii) Es existieren ein Ring S und ein Ringhomomorphismus ϕ : R → S mit Kern I. Gegebenenfalls ist die Abbildung ν : R → R/I, r → r + I ein Ringepimorphismus mit Kern I. Beweis. 4 wissen wir, dass (R/I, +) eine abelsche Gruppe ist.

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